# 5 如何突破高考数学？

作者：周瑞

本文是《高三突围》学科思维突破数学部分学习指南的第 2 篇，希望通过这篇文章能够在前一篇文章的基础之上给大家提供切实可行的关于学好数学的行动建议。

数学无疑是很多人头疼的科目，所以看到这部分你真得打起精神来了。虽然比起初中，数学在高中有一个极大的跨越，但它绝对不至于像很多学生想象的那样高深莫测，满分150 分，掌握学习高中数学的核心方法之后，考到 130 分应该没问题，但是具体能否往上再拔高，更多地取决于你在实践本文方法时的深度和广度。

为什么那么多人数学学不好呢？一是不敢想，二是不敢做，所以要攻克数学，首先要改变对数学的刻板印象，在这篇文章里，我会把数学剖开，把学好它的核心展示在你面前。其中个体因素取决于你，我负责尽最大努力把学好数学的方法全面、细致地展现在后面的内容中。

简单说说自己的情况，我最好的科目就是数学，整个高中期间，数学基本在年级第一第二，但是 2020 高考没发挥好，全国三卷只考了 142，压轴题求导出错了。说实话，我高三一年都没怎么在数学上用力，但数学还是基本维持在 140 左右，我并非天赋型选手，只是掌握了相对轻松的学习方法，在高一高二就完成了数学知识系统构建，所以在高三时期没有费很大的劲就能将成绩保持在较高的水平。虽然我不是高三的逆袭者，但我的方法对高三的同学会是普遍适用的。因为在我看来，学习数学的核心方法是贯穿三年基本不变的，高三学子最宝贵的是时间，我会让你在有限的时间到达能够企及的最高高度。

在学习上，我帮助过很多人，其中有一个是好朋友，她平时数学只能考 100 分左右，但高考却考到 130 多。她和很多人一样都讨厌数学，但在高三这年彻底做出了改变，不是变得热爱数学，只是更加愿意为数学投入时间和精力。也许你觉得自己和她没什么两样，每天都埋头挣扎在数学的题海中，同样是花时间，为什么你却收效甚微呢？效果之所以不同，是因为一个花的时间是有效的，而另一个所花的很多时间是低效甚至无效的，正是有效时间量的差异拉开了人与人之间的差距。

如果你也正面临投入了时间精力却效果不佳的问题，那这篇文章真的值得你看下去并且付诸实践。当然，就像前面说到的，学习数学的核心方法是相通的，不管你在高中数学的学习过程中面临着什么问题，下面的东西都可以帮到你。

# 01 数学认知

在开始方法论之前，我先带你重塑对数学的认知。进入高中，学的第一部分内容是集合，课堂知识大家都觉得很简单：“就这？就这？这不有手就行？”高中数学就是这样，课堂上感觉很简单，但在做变式题的时候，发现这也不会那也不会，被高中数学一顿毒打。于是有部分人因此产生了畏难情绪，畏难情绪导致学习心态消极，消极心态再落实到懈怠的行动中，后面越来越学不走，甚至上课都听不懂了。

为什么会这样呢？因为高中数学课本上的知识点很少很浅，但是题目却在不断挖掘、持续变形。授之以鱼，考之以鳔鳙鳕鳗鳟鳡鳏鱢鳢鳠鳢鳓鱣鱠鱮鱍,这确实感觉挺为难人的。但是，吐槽完不要忘了，解决问题才是更重要的。这种现象无非是在告诉我们，数学题不会原封不动地考查知识点，它考查的是对知识点的应用，考试考的不是双曲线渐近线的概念，而是利用渐近线解决更深层次的问题。知道了这一点，你就初步收获了处理高中数学的能力之一，就是主动思考我们所学知识的用处进而去学习如何运用所学的简单知识处理那些变来变去的题目。

然而只停留在意识层面还远远不够，毕竟“学知识就是为了应用”听起来只是一句正确但没有用的废话，不知道怎么应用才是最大的问题所在。为什么你做不到利用简单知识处理变来变去的题目呢？原因在于你参加的其实是一场不那么公平的竞争。在解题这件事上你和学霸握有的筹码是不同的。虽然你们学着同样的课本知识，做着相同的练习题，但其实你在高中数学的主干知识上一直有很大的缺口。

主干知识不等同于课本教授的简单概念与公式，课本上的内容是最简单最基础的知识，而解题需要的，是课本知识不断挖掘、延伸出的解题方法、易错点等等，这就是我们说的“主干知识”。比如，课本告诉你，值域是函数的三要素之一，但你能利用这个概念求解一个二次型分式函数的值域吗？要解出这个题目需要分离常数和裂项的知识，如果大脑里没有这两点知识就难以解答。所以最简单的知识和概念大家都懂，你真正缺少的是大块大块解题必不可少的主干知识。所以话说回来，这其实也算是一场公平的竞争，因为学霸之所以是学霸其实是因为善于归纳、懂得内化的学霸们通过长期的积累已经攒足了竞争的资本，而你需要从现在开始“平地起高楼”。

主干知识部分出现在课堂上，部分需要从平时的练习中总结归纳，你回想过去两年自己在数学课上睡的觉，在课后练习题里划的水，就该知道主干知识空缺有多大了。在高三，老师讲课的时间不多，更多的需要依靠后者恶补，这是提高数学的大方向之一。

主干知识是恶补数学的方向，但补知识不代表单纯的记忆，真正靠谱的记忆是利用这些知识不断进行推理应用。高中数学是一个知识应用、逻辑推理的学科，你觉得自己知道怎么做不代表你会做，动手动脑才能把意识层面上升到应用层面，也就是最实在的考试和分数层面。数学来自于人们对实际问题的探索，所以数学一大核心就是应用，学习导数是为了研究函数的变化趋势并对其变化状态进行分析；学习解析几何是为了用代数的运算解决抽象的几何问题。

数学的另一核心是推理，跳出高中数学来看待这个问题也许更清晰。我在大学里学习高等数学，课本先给了一些很简单的知识，比如高中学的集合之类的，然后用这些简单的知识经过一系列推理，得出了极限、微积分所有的定理，从而构建出整个高等数学，而古希腊数学家欧几里德用五条简单的公理推出了整个复杂的几何世界！

下面用一个例子来演示如何进行推理应用：在数列的题目中，已知 Sn，求 an。我来理理思路：看到题目，我从脑海中搜索出相关的主干知识，也就是“已知 Sn 和 an 的关系，求数列通项公式”的方法，看到题目，从大脑中检索出可能适用的方法，这叫应用，使用选定方法进行计算变形以及不断处理条件的过程，就是推理。解决数学题的方法大抵都是如此，通过推理选择合适的方法，再用所选方法进行推理运算，而一道题往往涵盖不同的知识点和考点，因此应用和推理可能进行多个回合。

其实高中数学不难，这种记的最少的科目最令我开心了，这是事实，不是主观臆断，否则怎么会有那么多高三逆袭的故事？数学不好，或者说难以把身心投入其中的人，常常对数学抱有消极心理。对某件事情发自内心地排斥，并表现为行动上的消极懈怠，自然难以把事情做好。堆积大量无效时间自我消耗与感动，没有收效就用天赋作借口回避问题，看似在刷题实际并没有充分调动大脑，错题集制作精美却放在角落吃灰.

虽然有客观因素的影响，但要改变学不好数学的现状我们只能从主观因素下手，如果你有前面提到的那几种情况，就不要再说数学辜负了你的汗水，抛开过去，我们重新开始审视这一切，不要总是忧虑“我能不能行”，应该考虑“要怎样做才能行”，现状差，但我知道自己以后不会差，这叫成长型思维，这是可以受益终生的思维，我们不妨从学数学这件事情开始培养。作为一个常年数学在 140 以上，我认识很多数学好的人，三年来，我发现他们有以下共同点。

① 热爱我敢打包票，百分之九十九数学在 140 以上的学生绝对不会讨厌数学，甚至会热爱数学，哪怕没有解出来，他们也很享受推理数学题目的过程。但我并不是要求你热爱数学，你可以不喜欢它，但你最好不要讨厌它，要知道数学在高考中能拉开较大差距。现在讨厌数学你高考怎么办呢？
② 善于总结数学学霸上数学课两手放在裤兜里，看上去什么也没听，睥睨众生，而老师一提问，考试一考，他们总是什么都会。天赋使然吗？其实比起天赋，他更占优势的是总结的能力。数学一大核心是什么，是应用，而那么多主干知识，那么多让人眼花缭乱的题目，怎么把知识正确应用在题目中啊？这离不开总结能力。

很多人做题往往是胡冲乱撞，而数学好的人会首先判断一道题属于什么类型，需要什么方法解决。通过总结，题和方法就在脑海中形成了有条理的检索目录，看到一道题，就在大脑的知识库里检索出可能适用的方法，再根据题目条件进一步推理并选择最合适的方法。解数学题特别是综合考查知识的题目，就好像是在走一条充满分岔口的路，不断地推理，在每一个路口选择合适的方向，胡乱冲撞其实是在赌能不能到终点，思路清晰的人往往会先分析局势，再做出方向选择的决定。
③ 严格认真数学是最规矩的学科，是非分明，没有模棱两可的东西，严格认真是进行正确推理的重要因素。举一个常见的错误：填空题，对 4 进行开方运算，一些人会得到正 2，而一些人会得到正负 2。得到 2 的同学，也许会这样想：什么数的平方等于 4，2 嘛，然后就写了个 2，结果白白丢了 5 分；而得到正负 2 的同学会想：开方运算一定是两个互为相反数的根，所以是正负 2，然后就得到了这五分。

为什么会有这种思维差距？第一类同学，不是从开方出发，而是从平方出发，平方是一对一，所以是一个答案。而第二类同学，是从开方出发，开方在所学的知识点中就是一对二，所以不会漏掉-2 这个答案。本题是开方运算，应该严格从开方出发进行推理，而不是想当然地从平方出发，进而只得到一个答案。

再举一个例子，在导数题中对 lnx 求导得到 1/x，然后研究 1/x 时不认真的同学，又很快的认为 1/x 的定义域为（负无穷大，0）并上（0，正无穷大），然后又白白扣分，而逻辑严密认真的同学，会遵循求导时定义域不变的规则，从而在 lnx 的定义域（0，正无穷）里研究 1/x，得到正确答案。

差之毫厘，失之千里，你或许以为这些只是失误，但是，这种严谨实实在在的是思维上的差距。
④ 追求效率作为一个数学好的人，如果不能利用最少时间做最好的事，那他一定是伪数学学霸，因为他线性规划一定没学好，做不到最优解！开个玩笑。对于我来讲，如果高三我还用大量时间来学习数学，那么英语和理综可能就要炸了，所以我选择用最少的时间来维持数学成绩。做数学卷子也是如此，如果你不懂得提高效率，每个题都用最笨的方法去做，那数学分数一定不会很高。

所以学会高效做事，学会统筹规划，也能在一定程度上提升你的数学成绩，更何况你处于高三，最宝贵的就是时间，学会如何利用好的时间，我想重要性不言而喻吧。分析就到这里，比起推积各种公式和总结好的方法，我更愿意向你分享“如何去学习”，授之以鱼不如授之以渔，别人的解题经验你不一定能记住，记住了不一定善于运用，一个终生学习者明白他应该怎样选择，即便你只想学好眼前的数学，“学会学习”仍然是最佳选择。

# 02 核心要领

如果把解题比作搭房子，知识、方法是搭建房子的材料，各式各样的题目是搭建不同房子的要求，我们的目标是解题，也就是搭出符合要求的房子。要成功应对变化多端的要求，我们首先要有足够的材料，再者要掌握材料不同的组装方法，并且还要正确理解搭建房子的要求。选择正确的搭建方法是“应用”，正确地使用方法是“推理”，这两方面的能力我们都将在后面的训练中一一培养。

《孙子兵法》中的一句话可以很好地运用到学习过程中去：“夫战胜攻取，而不修其功者，凶，命曰‘费留’。”大概的意思是，凡打了胜仗那个，攻取了城邑，而不能巩固战果的，会很危险，这种情况叫做“费留”。这是在告诉我们巩固成果的重要性，道理大家都懂，却有人仍然学不好，沙场上的智慧用到高考战场上来，那你就比很多同学多了一种力量的加持。只收集材料、学习搭建方法、搭房子还不够，还要对学习到的搭建方法以及搭错的、或者不熟练的房子的搭建过程进行复盘，巩固成果。

现在回想，数学的核心是推理和应用，也就是正确地选择方法并正确地运用方法，以下核心要领可以实现这两方面能力的提高：

① 实现从知识到考法的迁移——学会正确选择和适用方法
② 进行及时的复盘工作——抵抗遗忘，巩固成果

对于大多数人来说，学数学最困难的部分无非是对题干条件进行正确的推导和运用，以及对知识方法遗忘的抵抗，而这两者之间又是紧密联系的，不能在题目中运用知识就会产生遗忘，知识被遗忘更加难以被调动起来参与解题.由此产生恶性循环，要打破恶性闭环，唯有将知识和题目紧密联系起来。其实不管是练题，改错题，考前复习，都是为做好这两者服务的，只是在日常的学习中很少有同学把别的乱七八糟的东西剖离开、挖掘出其本质，因此在学习过程中没有针对性，迷迷糊糊地四处乱撞。理解、积累是进行正确推理的前提，而学好高中数学的核心要领就在于，学会怎么运用知识，并不断复盘抵抗脑中积累的知识和方法的遗忘，有了这层认识会让你的学习更有方向感。

# 03 实现知识到方法的迁移

为了快而正确地解题，我们要通过训练不断靠近一个境界：看到题目联想到相关知识和方法，由一个条件推出一个条件甚至多个条件，再根据题干的问题选用有助于解题的条件进一步推理运算。比如圆锥曲线的离心率是 c/a，但题目不会直接给出 a,c 的值让你求离心率，我们学的是概念，考的是用法，学是为了基础知识的推理运用，而不是在考场上默写知识点。

# ① 打牢基础，基础知识是进行演算推理的前提

首先要为“基础知识”正名，这在前面也提到过，所谓基础知识并非只有课本上简简单单的概念和公式，更值得我们重视的是可以帮助我们搭建房子的材料，也就是能够帮助解题的主干知识，包括每一章节的考点、题型、易错点、二级结论和公式。

基础不好会出现两种情况：看到题目条件完全无法推理转化；半罐水，用错误的知识和方法解决问题。前者不必多说，就是平时大家归到“不会做”的那类情况，后者需要稍作解释，它常常让人感到很无奈，不知如何解决。很多人在做题过程中可能出现以下错误：f(x)=x,向右平移一个单位后,根据“左加右减”的规则可以得到 g(x)=x-1；以此类推，f(x)=x^2+1 向右平移一个单位后得到 g(x)=x^2+1-1=x^2。

错在哪里呢？由例子简单粗暴地推出错误的变化规律，是因为压根没有对计算的本质规律进行深刻的理解。平移时 x、y 是怎样变化的？左右平移只改变 x,上下平移改变 y，所以平移后应该为 h(x)=(x-1)^2+1,g(x)=x^2 是 f(x)向下平移一个单位后得到的。

对所学的知识一定要理解透彻，这其实是一个记忆问题，你使用了错误的方法是因为你没有记住正确的规则，而理解可以加深我们对这些知识的记忆。你不需要弄清楚知识的历史由来，但要明白一个公式的每个成分的含义是什么，它是如何推导出来的，一种运算方法背后的原理是什么，把这些知识搞清楚、不断积累这方面的要点，才能不断减少上述的“半罐水错误”。

再为“打牢基础”正名。很多人在补基础知识时会陷入一种误区，它包括两方面——复习对象和复习方法。这种错误来源于对基础知识涵盖范围的误解，补基础，不是单纯地拿着复习资料把所有的挖空填满再进行记忆，更不是把基础概念一遍一遍地背诵。我并不是说挖空训练和记忆知识完全不可取，数学也有需要积累、记忆的内容，只是对于数学这门推理性学科来说，思考占比应该是大于记忆的，并且思考到位之后记忆也会变得更加轻松甚至更牢固。

在这里提供打牢基础的方法——头脑风暴构建知识网络+用例题巩固成果

纯记忆的方法除了缺少思考之外，还有一个极大的弱点，那就是单纯靠记忆积累的数学知识往往是零散的、混乱的，你很难在这个过程中捋清知识与知识之间的联系，就算理解也只是流于表面，很难把知识上升到应用层面。现在开始填充你大脑里的知识库，在此之前准备好一本资料，满足以下条件：

包含数学所有知识的目录
各部分总结了该部分的重要知识点、公式和结论
各部分的知识有题型分类以及对应的例题

刷完这一本你的数学水平就会扶摇直上、平步青云？不是的，你要明白不是所有资料都是用来刷的，刷资料也不是越多越好。这本资料是我们按需取用的“查阅”和“练习”工具，是你的工具，你要合理利用它而不是被“必须做完”的目标支配。回到资料的选取上来，是不是发现手边正好就有这种合格的资料？其实不需要什么高深的资料，你手

上的一轮资料就是不错的选择。

1）备好资料，拿出一张白纸，两支不同颜色的笔，收拾干净桌面，把不用的书籍收起来，下面我们先来构建知识网络。翻开这本资料的目录，从第一章第一节开始，看着目录上的标题，充分调动过去的高中学习过程中积累的知识方法经验，回想这一节有哪些重要知识点，题型，易错点，重要公式，并像前文提到的那样对知识进行深刻理解、慢慢把半罐水填满，如果忘记了“深刻理解”的标准，可以回到前面看看。
2）上一点的指示进行头脑风暴的同时，把想到的内容写在白纸上，一定要注意，不要讲究格式，一定不要像手账一样工整精美，保证自己能看懂就好。
3）开准备好的那本宝典（资料），核对自己在白纸上写下的内容，用另一种颜色的笔进行订正与补充，再对这部分内容进行进一步梳理和理解。订正补充的部分是你知识漏洞所在，这个梳理知识的过程可以初步地弥补漏洞，但这部分还需要练习对应的题目进行巩固才能增加它在你脑子里的扎根的深度。
4）下来的一步就是对订正补充的部分加以理解与练题巩固

按照上面的步骤，顺着资料的目录，一个章节一个章节地梳理完后，你对数学知识的理解与把握能够上升到一定层次，做起题来也会比以前更加顺畅、更方向感。

# ② 通过练习刻意把知识向题目迁移

“刻意”二字是实现生疏到熟练的关键，很多人无法实现知识到题目迁移正是因为没有进行刻意训练。做了很多题目遇到类似的还是不会做，老师总结的题型也总是记不住，背题型是一个记忆过程，老师和标准答案灌输给你解题方法，你尝试记住学习方法。其实在这个过程中，你获取了知识，暂时记住了知识，但是在特定的时候却不知道怎么应用，甚至根本就没想过要应用。

要学好任何一件事，实践就是最好的方法，因为它能加快薄弱部分暴露在你面前的速度，越快发现不足，越快弥补，就能越快进步。所以摆正认识，出错不是用来挫败信心的，它是为了使隐蔽的敌人尽快暴露身份。为了实现迁移，我们要练，而且是刻意地去练。关于练习题目的选择，建议使用已复习内容的对应题目。这样可以对已复习的知识进一步巩固、迁移。同时，复习过的内容做题目会相对容易，可以建立良好的正反馈系统，激励你继续学下去，咱们在前面分析数学大佬的特质时也说过，他们在做题过程中能够获得正向的反馈进而不断保持对数学的热情。

如果近期才复习完三角函数的知识，却想把解析几何答题搞定，基础不错还好说，如果解析几何部分的基础比较薄弱，做起来就会很艰难，甚至产生负面情绪，影响这一科甚至其他几门科目的学习。所以我们要慢慢来，循序渐进，虽然时间很紧，但沉下心来往往慢就是快。

选择好题目后进行刻意的“应用练习”，也就是在做题时刻意回想、运用某些知识，从而增加对知识的熟练度，明白知识怎样运用到解题中。这部分中最具挑战也最有趣的部分就是学会掌控自己的大脑，让它不被你以前做题的思维所控制。一个小小的提醒，以下方法先用高考题进行练习以增加熟练度，再运用到日常习题中，可以买一本高考真题分类集训，针对不同知识板块进行练习。至于为什么选择先用高考题，在此简单做一个解释。

也许有人说高考题并不应该被奉若瑰宝，是的，这种开放的思维值得肯定，但是高考题相对日常的练习题以及模拟题确实有优越性。大家高考是做高考卷，老师应该强调过多次，更重要的一点在于，就我的经验而言，高考题相对模拟题来说，题目的综合性、题干的指向性更加明显，它不会刻意用偏怪难的题目去为难学生，难度比较合适，也就是说只要进行正确的推理，就能读懂题，中间的推理运算不出岔子的话，通常都能得出正确结果。如果一开始用难题怪题进行训练，很可能被弄得晕头转向，不知道一道题应该怎么去剖析才好。

题目选好了，下面就是正式的训练步骤了。

① 读完一道题目，像往常一样，你的脑海里迅速反应了某种解题方法，并且感觉能够解出，打算立马开动，这个时候，对大脑勇敢说“不”。慢下来，这是第一步，极其重要的第一步！
② 现在成功避开了惯性思维的引导，你要开始尝试独立思考。充分调动脑中积累的知识方法，读题的过程中尝试分析：
- 这个题目在考查什么知识？怎么考的？我有没有做过？或者老师有没有讲过这类考法？当时是怎么做的？
- 题目在问什么？为了解答这个问题我需要什么条件？为了得到我所需要的这个条件又需要什么条件？
- 题干的这个条件可以进行哪些转化？怎样转化可以更加靠近需要解答的哪个问题？
- 要解答题干的问题有哪些思考方向？根据题干给出的以及自己推导出的条件来看，可以从哪个方向入手？
③ 如果这样思考过后有了思维的苗头，很不错，继续走下去，如果最后做出来了，那么恭喜你，你应该已经体会到了推理的乐趣，这样在对数学的体验感上你和大佬的差距就缩小了那么一点了。但是开心的同时，回头花一到两分钟再捋一捋这道题，看看自己是怎么一步步解出来的，把战果进行巩固。
④ 如果刚开始有思路，但走到后面卡住了，不妨回头看看自己最开始的思路以及中间过程有没有问题。你觉得没有就是没有，因为就算有，但你觉得没有，也是难以挖掘出这个错误的，不如等它被标准答案或者老师同学揭发，印象会更加深刻，所以不妨相信自己，按照自己的思路走下去。

检查完前面的内容没有问题，现在我们来寻找突破点，听上去也许不是那么合理的一件事——为了解题而解题。大部分的题目都是能解出来的，现在想想还有没有可能解题的路径，也许它看上去计算量很大，也许用你已掌握的知识解释不通，但是，你目前只能想到这种方法了，所以不妨一试，计算量大的方法较大概率是不可行的，但也并非没有可能正确，说不定计算过程可以进行某种转化呢？又或者，那个看上去解释不通的方法恰好就是你的知识盲区呢？
如果一开始经过多方面分析还是没有思路，或者像上面说到的那样刚开始有思路、但到后面哪怕是“为了解题而解题”也摸不着头脑，也是没有关系的，如果一开始就能做得很好，那做这件事的价值岂不是就下降了吗？正是因为现在做不好、希望以后能做好，才要接受从不好到好这个过程的挑战。
最后不管你做这道题结果是什么，做出来了，没做出来，还是压根儿没法动笔，这些都不重要。因为在这个思考的过程你收获了经验，并会在下一次表现得更加熟练。现在要做的，除了前面说到的分析“做对的题是怎么做对的”之外，自然免不了分析错题。核对答案后，仍然像第二步那样进行发问，如此一来便能摸透这道题背后解题的逻辑。

这个方法对于初步尝试的人来说一定具有难度，但是它是学习数学的重中之重！要想知识迁移能力和解题能力实现质的飞跃，你就要迎接这个挑战。但是你也不必太过担心，困难不会一直持续，你会在一次次的练习中不断积累经验，不断获得更多自己不曾有过的解题体验，在正向反馈下继续下去，困难指数会随着经验的积累不断减小，并且随着经验的积累，困难指数的减小速度会不断加快，直到轻车熟路。

在这件事上，你只需要坚持、不断积累有效时间（有效时间是你真真正正按照上面的指导花在数学上的思考、总结时间，而不是跳过对自己来说困难的部分、只完成舒适区的内容）有效时间积累越多，能力提升越快。

# 04 及时复盘

如果你去路边树荫下围观大爷的棋局，不难发现他们在一局对弈结束后会对这局的过程进行梳理并把每一步再演示一遍，这个过程就叫复盘。复盘是围棋中的术语，指双方对弈结束后复演该盘棋的记录，以检查其中的招法优劣与得失关键，复演能够加深对这场对弈的印象，并找出攻守的漏洞。

现在复盘变得更加广义，指的是对做过的事情进行思维演练。思维的重新演练强在哪里呢？你回顾做一件事的思路的时候可能会获得对一件事不同的体会，甚至将一件事与另一件或者多件事情联系起来，这样不断获得新体会、发现事物间的共性，你将离理解事物本质以及掌握一件事越来越近。如果你能从复盘数学题的过程中不断对题目加深理解，并发现不同题目之间的相同与不同，你自然能够体会到自己在学习数学思维和知识方法体系上的改变。

有的好棋手不是天生的好棋手，而是通过不断的复盘、总结训练出来的。你也不是比数学大佬差很多，只是你做题就是做题但他们做题会总结，经验在你面前晃来晃去你却挥手让它走，长期下来你和大佬之间的积累量就天差地别了。但只要你明白了，现状是可以改变的以及那些学习经验从何而来，现在差就没关系，要缩小和大佬的差距就加大马力进行积累。

# 4.1 误区矫正

① 复盘不等同于复习，更不是只在考试前才进行。复盘注重的是思维上的演练以及对整个过程的总结，它是一个需要长期贯穿在学习生活中的行为，除了温习以前总结好的经验，复盘还是一个创造新经验的过程。

② 复盘题目不是单纯地看明白怎么做，更重要的是捋清楚“为什么”，把握整个解题过程的思路链条，不用把整个题目再完完整整做一遍，但必须从头到尾想一遍。老师一直强调总结错题但为什么你总是觉得总结很无趣、难以坚持下去呢？正是因为你所进行的复盘是简单地看懂答案，被动地接受答案灌输的方法，而不是主动地去探寻方法，如果在这件事上你主动一点，相信我，探索会变成一件有意思的事。

# 4.2 复盘对象

复盘你能力掌控范围之外的内容，哪怕你是集合和复数选择题这类逻辑推理很简单的题目不会做，也可以进行复盘，题目难度只是决定你复盘时间的长短和次数而已。总之，复盘对象的唯一原则就是他应该在你的能力掌控之外。“能力掌控之外”在学习上一大表现就是错题以及自身薄弱的知识板块和题型，有一类不太锁定的目标是课堂，因为老师在课堂上讲了你原本不知道的方法，提供了新知，你可能难以将其判断为在能力掌控之外，而新知识本身就是在原有能力之外的东西，也是需要复盘的。

总结一下，需要复盘的内容大概有两类，一是从日常练习中的错题以及攻克薄弱题型时刷的题，二是从外部获取的新知识，对两类内容的复盘最好都及时进行，特别是第二类，遗忘得越少对思维的还原更容易，复盘花费的耗时就越少并且还原度还会越高。

# 4.3 如何进行复盘？

复盘大概分为三个步骤：回顾过程——对比分析——总结经验。复盘方法在不同场景中大抵是相通的，现在我们来针对上述第一类内容进行复盘，相信你掌握后会明白第二类内容该怎么处理。我们把第一类内容进行进一步的精细化分。

# ① 错题

错题有两类，一类是知识性错误，也就是因为对知识和考法掌握不全或者迁移不正确而产生的错误；第二类是过失性失误，也就是老师经常提到的“低级错误”，包括但不限于计算错误，读题失误等等。

值得一提的是，第二种错误应该得到足够的重视，老师对此不会给出什么可操作性的方法，你也只能默默告诉自己下次做题要仔细，但事实是这个问题早已根深蒂固，并没有因为你告诉自己要仔细得到好转。每次考完试都有同学嗷嗷大叫，说自己如果哪里哪里没扣分就多少多少分了，可惜自己就是算错了或者看错题了。会做但没有避错能力，也是能力问题，可惜过失性失误致命的地方在于它善于给学生营造一种假象，那就是“我会做，只是不小心做错了，下次小心点就能做对了”“我有能力，只是失误了”。但其实“下次能做对”只是你以为，如果没有避错意识，在踩坑这件事上你往往很轻松就能做到坚持不懈。

对自己的现状感到满意的时候会进步很缓慢，甚至在某方面不会进步，更何况这种满意是源于“能力足够”的假象呢？所以啊，请一定要重视这些不起眼的细节，避错、把解题能力展示在试卷上本身也是一种能力，每次考完鬼哭狼嚎过失丢掉的那十几分甚至更多，是不是可以抵上你十几分钟没有解出来的 7 分的导数第二问呢？

# 针对知识性错误：

① 回顾过程回忆自己解题时的思路，找到自己思路卡壳的地方，做标记
② 对比分析如果在回忆的过程中解出了错题，就对比这次解题和上次解题思路上的差异；如果这次没有解出但找到了卡壳的地方，拿出标准答案进行对比，仔细看卡壳的地方应该怎么解决，只解决卡壳的部分，独立完成剩下的解题步骤，如果再次卡壳重复上述过程；如果没有卡壳的地方但结果又是错误的，可能是知识运用错误，也可能是出现了过失性错误，无论是哪种我们首先来进行排查。对比标准答案一步一步排查，直到找出错误的地方，当然，如果你和标准答案使用的是不同的方法，可以和老师同学讨论。
③ 总结经验这一步是对改错过程的巩固和总结，将知识到方法的迁移内化为自己的解题经验储备，正如前面说到的，你和数学学霸的差距，也许就在解题经验上，现在我们就开始积累，不断填充自己的经验库。

经验的总结可以是你的一两句话，你可以批注在错题旁边，也可以买一个可以随身携带的小本本作为你的数学解题经验库，把你的心得记在上面。如果你坚信自己不会再复习改过的错题，可以选择记在小本本上，但是这种方法有些弊端：①写在本子上难免会注重美观，容易把心思放在排版上，本末倒置。②写在本子上要考虑信息的完整性，否则今后很可能看不懂，这就增加了记录的负担。③写在本子上脱离了原题目，难以快速找到合适的题目进行验证和理解，增加了复习的难度。

综上，我想告诉你的就是，强烈建议直接写在错题旁边，因此也强烈建议养成不定期的复习错题的习惯！不定期是因为定期难免会增加工作量和不必要的记忆负担，所以空闲的时候把改过的错题拿出来多看看就好。

接着再说记什么，你只需要用简单的话记下复盘过程中的心得体会就好，对卡壳部分的思路梳理，对某些解题方法的总结。比如：解析几何大题定点定值问题可以先用直线斜率为 0 和斜率不存在的两种情况求出定值，再设直线方程，列方程把特定对象用式子表示出来，它是定值，那么分子和分母通常成倍数关系，或者未知参数的系数为零等等。

这个时候你有没有体会到经验丰富的好处？当你知道应该把特定对象先表示出来，然后应该存在某些情况使它为定值，再倒过来写步骤、解题，是不是比拿着题目、在草稿纸乱涂乱画、冥思苦想“怎么才能为定值”容易多了？当你积累了一定经验，就能站在更高的视觉和不同的角度去解题，相当于你在走这条路之前就知道这条路大概怎么走，中间自然会少很多摸爬滚打。

# 针对过失性错误：

解决过失性失误相对轻松，但不意味着不重要，越是容易拿到的分，就越不能丢。

① 回顾过程首先你得像前面说到的那样去回顾解题过程，确定它是过失性的错误。
② 对比分析针对计算错误，这个过程实质上是进行计算复演，也就是说你得再算一遍。为了减少负担，过失性错误的题越早复盘越好，因为这个时候你也许还能找到自己的草稿，就可以看着草稿在头脑中进行“计算复演”，直接检查草稿可以省去重新算的环节，在时间和精力都很紧张的高三是不二之选。

实在找不到草稿，自己再算一遍也没关系，只不过时间会多花几分钟。对比正确的演算过程和错误的计算过程，相信能够找出哪一步出错了，分析出为什么错，到这里就够了。而如果明显可以看出是忽略题干信息产生的错误那就更简单了，复演都不需要。有时候不能明显看破这一点，会花一些时间在检查计算过程上，如果检查了一两遍都没找出问题，就要考虑是不是这一步之前的步骤出现了错误，或者是否读题错误，有时候解析几何大题算了很久，回过头发现椭圆方程都是错误的！

当你解不出题目的时候，回过头看看题干。这个方法不仅仅适用于数学，它在各个科目都有一定的适用价值。
③ 总结经验你可以用心爱的小本本了，过失性失误的原因相对简单，也不需要特定的题目来辅助理解，解决它可以说是一个记忆过程。记什么，记的就是错因，等式移项时符号容易写错，不等式移项忘记变号，数字 2 和 3 总是会写错，计算过程中遗漏式子的部分项式，题干小括号的内容易忽略，单位换算易忽略.

记在小本本上之后就需要混个眼熟，也就是有事没事拿出来看看记记，要真正减少过失性错误还是免不了运用，当你做题遇到和小本本上内容相似的题目时，大脑就要像条件反射一样，用小本本上的东西提醒自己哪些地方易错。不管你以前怎么对待过失性错误，在看完这篇文章后就该改变你的看法了，过失性失误并非无法避免，我们通过一些不那么辛苦的努力就能够尽量地避免。

# ② 题型攻克

1）在大量刷同类题之前，你要首先想办法让这类题足够具体。

找到的问题足够具体，才能够制定出具有操作性的解决方案，如果你总结出来的问题是解析几何选填题不会做，那你也许会大量刷题，可是这个范围太宽泛，你刷的题中很可能有相当一部分是已经掌握的，刷了很多题后你甚至说不清楚自己这样做究竟是为了解决什么问题。

人的大脑有一个特点，如果能够成功，最好马上成功，如果有结果，无论好坏，最好马上看到结果。人的大脑就是耐不住性子去做一件长期看不到反馈的事，而我们也难以说服我们的大脑不这样去做，因为实在会消耗太多意志力，不是一件划算的事。所以像这样盲目没有针对性、耗时耗力但收效慢而且不明显的刷题，简直是和大脑容易接受方式背道而驰，很难长期坚持。

仍然以解析几何小题为例子，正确的操作是，总结出：自己解析几何的选填题不知道怎么求离心率。于是就去找大量求离心率的小题进行练习，并总结出求离心率的思考方向、解题方法。同样的，你也不能直接抛下一句“导数大题不会做”，而应落实到具体知识点或者题型，比如“导数第二问求证长不等式不会做”“导数第二问增量法不熟练”等等。
2）找出具体漏洞后找题、刷题就是你应该下够的功夫。值得提醒的是，刷题也不是越多越好，精改的错题越多才越好，也就是按照前面的建议，最大化地发挥错题的价值。
3）区别于复盘零散的错题，现在我们是在系统地总结某类知识方法有相通之处的题，提炼出某种具有通用价值的方法是我们最初的目的也是最重要的一步。
4）用自己的语言总结出解决这类题的经验：当看到...时，可以往...方向思考，当出现...条件时，可以进行...转化，解决...这种问题，通常的思路是...等等诸如此类。

# 05 关于刷题

刷题可能是提高数学成绩最好方法，也是对于数学不好的同学来说最简单的方法。但是刷题也有讲究，盲目的题海战术并不高明。还记得在“知识迁移到题目”部分提到的“刻意练习”吗？不用回过头去看，在前面部分它只是简单地亮相，现在我想告诉你的是：在符合现实的范围内，想要用尽可能少的时间实现最大飞跃，练习一定要刻意。

刻意练习是万维钢在《万万没想到》中提出的概念，大致内容如下：

① 只在“学习区”学习
② 把要训练的内容分成有针对性的小块，对每一个小块进行重复练习
③ 在整个练习过程中，随时能获得有效的反馈
④ 练习时注意力必须高度集中

借用刻意练习的概念，我来解读一下刷题应该怎样做。

刷题，要选用难度合适的题，也就是目前能力无法完全解出来，但通过努力能搞定的题目；刷题，要有明确的目的，明白自己现在刷题是为了解决什么问题，像前面说的那样，问题要足够具体。比如，做题型分类训练是为了攻克解析几何大题中的最值问题，刷套题是为了提速或者调整做题顺序把握考场节奏等等；注意力集中不必多说，至于反馈，就是能够看到自己的进步与不足，这在做题的结果正确性中可以获得一些，同时，还可以用一道具体的题目请老师分析这道题你的解题思路存在的不足。对刷题具体的建议，我从以下两个角度切入：①刷什么资料？ ②怎样刷？

# 5.1 刷题资料的选择

如果你时间不够，能用在刷题的时间不多，那么刷题资料的最优选择是——高考原题。对高考真题的赞美你们听得太多，也许愿意尝试，也许会产生排斥心理。但出于对自己的高考负责，你不能凭好恶做决定，而要用脑袋做判断。

一个很现实的问题是，我们高考，做的就是高考题，而高考题有一个特点，它在知识考查和题型上具有某种魔幻的传承性，也就是说，曾经考过的高考题会经过一点点加工后再次出现在考卷。如果你想验证这一点，可以去对比一下 2019 年全国一卷化学 28 题和2020 年全国三卷化学 28 题，而浙江卷数学连续三年在选择题中对立体几何的考查相似度极高.不信你可以找到近五年的高考卷题型分类训练的资料去验证。

毕竟是十几个教育专家为了仅仅 2 个小时的考试闭关好几个月特意设计的。真题相对于模拟题，它的知识点和解题方法绝对更加全面，同时也正如你们能够体会到的，有一些模拟题太偏颇了，很多重要的知识点都没有考查到，而导数，圆锥曲线的部分，偏怪难的技巧考得很多，但真题却不会这样。因为高考是全面的，它不会纠结于一个很小的点去难为人，正因为它全面，所以值得我们反复做，反复复盘，反复总结。

同时高考卷子也是最好的大纲。现在的高考大纲总结让许多同学一脸茫然，不知道该重点复习什么，如果你有这样的问题，就多做做往年的高考卷子，它会告诉你答案。做了很多高考题后不难发现，高考数学开始弱化对导函数的考察，更偏好于统计与概率（2019全国一卷），考察的圆锥曲线更偏向一些二级结论的应用与推广（2019 全国三卷）而不是计算，越来越弱化数列（从压轴题变成第一个大题，而且和三角函数轮流考），出题越来越和时代潮流现实生活结合（会有红色色彩以及大量应用场景），题目的文字量大量增加等等之类的。通过高考卷子来把握出题方向，来规划复习，通过刷题，明确方向，何乐而不为？

高考卷子不会太难，它难度适中，是为了高考的选拔而出的，如果大部分人都不会做，那么它根本没有选拔性。同时作为选拔性考试，它也不会太简单，否则，大家都考一样的分有什么意义？这种卷子最适合我们练习，简单题给我们自信，让我们练速度，提高准确率；而难题给我们方法和经验，而且这些方法比较实用，绝对不是那种偏怪难、注重技巧性的东西。我们做题不就是要得到这些吗？

当然，我觉得高考卷子可能不够，还需要刷点别的题，但是请记住我们刷题不是为了满足自己那点刷完题的满足感，而是能从刷题中学习到我们所欠缺的。在刷题这件事上，我们不能听信韩信说的多多益善，做得精才是进步制胜的关键。作为一个踩过雷的过来人，我在这里对试卷选用提一些建议！我推荐各个地区高考三诊卷，这是最接近高考的卷子，而且难度也正常，千万别去刷必刷题的 45 套卷，相信我，大部分写不完，而且有些东西高考根本不考，也不建议使用那些临考几卷，恕我直言那些都是垃圾。我高考之前被老师要求做这些卷子，做完只想把它丢到垃圾箱，跟高考一点都匹配不上，为了出题而出题，不是为了考查学生而是为难学生，甚至有些连题都是错的。

卷子是用来提升你刷套题的感觉与速度，如果你专项上还有薄弱，可以用那种题型分模块训练的教辅资料进行专项练习，这些资料买了，千万不要抱着每一个空、每一题都要刷完的想法，教辅是用来干嘛的？提升自己，不是所有题都适合你，你做完干嘛？要学会选择，选择对自己有用的题，你的时间是你最宝贵的，我们要做的是用最少的时间做最有用的事！

# 5.2 如何刷题？

如果你刚进入高三，先把今年的高考真题做一遍，感受一下高考题的题型和难度，也许你不会做，错很多，但是请认真总结，高考题是怎么样的，高考要考什么，侧重点是什么，并总结出自己的薄弱之处,以上总结出来的内容就是在高三复习阶段要重点关照的对象。

刷完一遍高考题，想必你对高考的理解深了一些，自己在心里就可能有一个初见雏形的复习规划了，接下来应该是数学的一轮复习。

一轮复习的重点是打基础，这句正确而无用的话也许需要一点解读。要达到良好的学习效果，我们首先接收知识，理解知识，然后通过练习巩固知识、发现不足并填补不足，学霸解题比你容易，因为他们的大脑中有足够的知识和经验，在解题时通过检索找到合适的方法自然更容易。

二轮时，你对知识点应该掌握得差不多了，这时候通过刷套卷来培养做题感觉很重要。其实高考时候需要一种做题的节奏，刷套卷的目的就在于此。

建议一星期两张套卷，定时完成，学校自己组织的也算在内。一定要对自己严格，千万不能做一半，又休息一会，一定要坚持刷完 2h。通过刷套卷知道该怎么做套卷，培养自己做套卷的风格和节奏。比如我就喜欢用选做题进行热身，活络思路，然后再选择填空大题。每个人都有自己的风格，因人而异，只要你不是压轴题起手其实都还行。

这个时候也要练速度，做题不能说每个题都要完完整整做出来，学会用应试技巧，快速解题方法，至于背后的深层次原因，留给复盘。为什么呢，我们高考是为了什么，是为了弄懂每一个题背后的原理，是需要把每一步都搞得明明白白吗？不是，是为了在尽可能短的时间，把正确答案写出来，得高分。刷套题一定要注意这点，做题时知道答案了就别纠结怎么来的，做对做完为上！如果在考场上太纠结于把题目的每一处思路都捋清楚，会导致难以在短的时间内做得完，会做但在规定时间内写不完一点用都没有。

二轮也是注重自己薄弱的地方最好时机，一轮的时候你大部分时间都跟着老师走，二轮你就可以稍微摆脱老师步伐，这个期间老师一般主要讲一些难题例如圆锥曲线和导数，虽然很有用，但是对于你可能不太实用，你可以根据自身各个模块的学习情况，花更多时间来处理自己不会且相对容易攻克的内容。以解答题为例，解三角形、立体几何、数列、选修、常规的概率题相对容易攻克，比较新颖的概率题次之，然后是比较有套路性的圆锥曲线第二问，最后是导数题第二问。在时间有限的情况下，要攻克大题，按照以上顺序，由难度最低的开始攻克，实现分数最大化。

进入三轮之后，再刷高考题，这次做的感觉肯定完全不一样。一是在你经过一轮二轮的充分练习，你的做题速度，做题的正确率已经大幅度提高，而三轮再练习高考题，是让你熟悉高考题的出题风格，当你习惯做一种风格的题，做题的节奏感会好很多。在高考前要熟悉高考的风格，这就是三轮练习高考题的缘故。其次的话三轮要保证做题的节奏，刷题更需要的是整堂整堂的考试，这个时期你需要减少零碎刷题的时间，更多地刷套题和参加学校考试，空出来的零碎时间，就用来复盘试卷。

高考就只是一场考试，把“怎样考试”研究清楚，分数自然会上去，比如应该怎么在难题中做出取舍？怎样能够减少过失性错误等等，这些问题想得越清楚，越明白，高考在一些非智力因素丢得分就越少。

三轮可支配时间非常多，这时候的安排因人而异，但大方向与原则就是“把原本不会的变成会的”“把已经会的进一步巩固”，前面的复盘方法可以很好地在这个阶段发挥作用。把不会的变成会的也许有些困难，毕竟跳出舒适区不是那么容易，但是只要你想，只要你敢跳出去，你就已经比很多同龄人做得更好、也拥有了更多可能。

# 5.3 刷题的细节问题

① 刷题时，切忌把答案放在旁边，写到不会开始对答案，对自己答案没信心对答案。用我们老师的话讲，把每一次做题都当作考试。你想想如果你把这种不好的行为变成了习惯，考试中遇到不会的题，就开始想翻答案，可是没答案，于是就开始慌了，不会做了；考试中遇到你自己没有把握的题，想对答案，可是没答案，就不相信自己的答案，不断检查，浪费大量时间。
② 刷题时一定要好好计算，过程好好写。不能说这个题我一眼看秒会，不写了，我知道怎么做。这是绝对错误的！说实话，相信看这的你们都不是数学天赋极好的大佬而是极力想提高分数的上学人，所有你们看到数学题大概率不会立马就有思路，就算有头脑中的过程也不会太清晰——你以为你懂了，其实你没懂。

所以刷题的时候谦卑一点，认真地做！为什么要求你们这样做，首先培养一个良好的习惯，你写作业养成格式过程的规范，你考试时过程与格式就相对规范，避免改卷人因为书写问题扣分。数学虽然不讲究字好看与否，但你的解答过程无法让阅卷人看懂，他又怎么给分呢？

高考最大的成功就是会做全得分，不会做尽量得分！所以希望你们能养成这个习惯。其次，良好的过程和规范的书写，能避免很多过失性失误，想必很多人因为各种过失性错误，扣了许许多多的分，而过失性失误一大原因就是，在不规范地解题时看错誊错。规范的过程可以减少这些过失性失误，何乐而不为，即使错了，检查时，规范的过程也能帮你更快的找出错因。所以最后再强调一遍：做作业要认真，要规范，要好好写！
③ 别太纠结难题，许多同学，特别是对数学很有信心的，喜欢挑战做难题，有成就感。但是大量刷难题，把时间用在难题上其实收益并不大。毕竟高考题大部分是中档题，别为了芝麻丢了西瓜。

但也不是说完全放弃难题，你刷题时，如果遇到，第一件事就是去做啊，如果你思考了几分钟还是摸不着头脑，那这个时候可以把它定义为难题，但是，不能第一眼看到题号是 20、21，就认为自己肯定不会做，并果断放弃思考。难题都是相对的，每个人认为的难题不太一样，我认为排列组合和立体几何比较难，而你可能觉得圆锥曲线和导数比较难，题要自己动笔去做了，才知道难不难，而不是单纯地从题号或者题型来判断！所以做题先尝试，不会就不要死磕了，去做其他的题，最后通过复盘学习其中基本处理方法。

最后总结一下，学好高中数学的核心方法在于实现知识到题目的迁移以及进行不定期的复盘。至此，学习方法、高三复习规划建议、刷题建议我们都通通交给你了，剩下的就是你去完成！多的不说，希望大家能在理清数学的逻辑之后，统统突破 135 的分水岭！