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4 什么是学数学必备的思维？

作者：树林

本文是《高三突围》学科思维突破数学部分学习指南的第 1 篇，希望通过这篇文章重构你对数学学习的认知并为后面的突破练习所有障碍。

学数学，不应该只是做题人的思维。还要有出题家的思维。

如果你现在分数很低，总是在钻理解知识点的牛角尖，那这篇文章就是来给你解决理清知识点体系的问题的（知识点理解层级优化）因为，学数学是可以纯靠背的，数学的所有背景，所有的翻译转化，都是知识点。

如果是现在分数中等，做题速度知识反应比较慢或者迁移总结能力弱，那这篇文章就是给你系统化提高对题目的理解的（做题的规范和步骤优化）因为，做题是可以模式化的，数学是最讲逻辑的，解题完全可以流程化的。

如果你现在分数比较高，但是总是困于难题付出时间回报率低，分数波动范围比较大，那这篇文章就是让你来提高稳定性以及提高效率的（建立数学强逻辑思维，建立数学从知识到题目的系统）因为，数学本质是上一门语言，而语言的学习，框架的搭建，字词句段文，层级非常清晰。

要学好数学，出题人视角，做题家思维，两者都必不可少。这篇文章，你可以理解为是数学的出题指南——可操作，流程化，精细手把手教学。

文章的底层逻辑——结构化思维、高效记忆法、目标导向思维。

01 序言

1.条理清晰和简洁是数学的最大特征

数学，是逻辑清晰的。从知识点的搭建，到题目的训练。高效率的做题，要求应该是:从审题找到题目切入点，到解题清楚每一个步骤的目的，每一步上下的逻辑关联，到最后答案的解出原理,层层清晰。

数学，是追求极简的。知识点的阐释，高考题目的设置。没有冗余的话，没有无效题干。每句话，都有存在的必要，都有解读的必要。每个题干，都有被翻译转化的必要。数学是一门语言，解读语言的核心就在于翻译转化——数学解题，必须流程化，也就是①②③④的做题思路。而学好数学，最核心的能力，记忆力，有手，会背。

所以数学无非就是一个搭积木，连连看、大家来找猹（茬）三合一游戏集合体。

据此，提出学数学的要求：数学，不能只学知识点，了解知识点的层级特别重要！不能再乱做题了，如果你做完题目都不知道题目是怎么做出来的，数学就肯定变成玄学了。学霸的做题凭借的是肌肉记忆、条件反射，所以成了做题家。有人做题的时候凭借的是，灵感，灵光乍现，我悟了，我试试，应该可以吧，所以成了学渣。

至少高中数学，可以工业化，可以机械化。总结题型有个模板，能不能归纳总结，真的跟聪明不聪明没有什么关系。

2.说完了要求，同时也提出一些关于学数学的雷点

这些习惯虽然都不是致命的，但是会让你的效率降低：

• ① 你有在做题之前想过，这个题目属于哪个章节，对应有哪些知识点，哪些知识点几乎必考，哪些知识点是核心吗？以及这些知识点在题目中的作用知道吗？
• ② 你在做题的时候，有对题干进行拆分吗？有想过题干背后对接的知识点是什么吗？以及题干和问题之间的关系吗？
• ③ 你在做完题目之后，有过对题目构成进行分析的意识吗？以及是否会做完一类题之后系统性地提炼步骤和方法，如果做了，有过严谨的逻辑分析吗？
• ④ 你是否真的想过，高考题也好，模拟题也好，考试本身的意义到底是什么，高考对出题人的要求是什么？出题人希望能够考察到你什么，到底怎么样才算是一道好题？以及这个题目考察的相关知识点有哪些，涉猎了几个章节的内容，题目里面的陷阱和坑易错点在哪里，出题人是在哪里增加了题目难度或者降低了题目难度的？
• ⑤ 你解题的时候，有没有一个宏观视角，还是只是说，走一步看一步，或者说你是不是认为你是一个灵感型的选手，会不会出现有时候灵感不顶用卡壳的情况。也就说，在你做完题目之前，你都不知道你走的这一步是对或者错，没有佐证，就跟关着灯洗衣服一样。

也许你会发现， 啊做题学习这么麻烦的嘛。乱学当然不麻烦，但是效率低，你想想是不是数学花了整个高中超过一半的时间，结果效果还是不够理想，这就是缘由。习惯并不复杂，复杂的是养成习惯的过程，而习惯养成之后的超额收益，才应该是坚持习惯的最大源动力。因为有问题，所以，我们要改变。

02 流程化的做题思路

针对真正合理的数学的做题逻辑，我原创了“数学的五步做题思路”，养成时间 14 天左右，一共有下面这几个步骤：

• ① 确定章节知识点，核心知识点（必考），常考知识点。 其实就是想了一下这一类型题目经常考的知识点有哪些，这一步是为了后面更好的搭建知识体系，培养出题人意识。

• ② 把题目进行拆解，划分成一个个子题干。 就是把这个题目给卸了，大卸八块那种，分解。

• ③ 翻译转化，把题干对应到具体知识点，确定知识点的应用 知识点包装成了题干，我们需要做的是把题干脱了，变成知识点。

• ④ 从题干正推，从问题逆推。 正推比较简单，大家都在用，逆推，以问题为导向的思维，因为我们要知道，题目是怎么做出来的。

• ⑤ 审慎计算，确保检查思路可回溯，复盘整理。

  完成对知识库的更新。

这套方法，是逻辑线最清楚的解题思路，这套方法也是调动思考的最大化方式。最大程度上保障了做题的准确性，以及架接知识点和题干的知识网络体系。

用两道中低档题来举个例子你就明白了（为了保障大家的理解，照顾大多数人的水平，选比较简单的）

1.④中的问题导向思维

比如说以问题为导向的正推逆推的解题演示（未知数的方程思想）一起看一道高考题：

我们直接从第二问开始，第一问求出 C 是 60 度。现在我们重新整合一下题目：问题导向的意思就是，要解决这个问题需要什么？一直往回推，直到衔接到题干。

从问题出发，逆推分析： 要求周长→求 abc，三边长→题目有 c，需要解 a 和 b 的值。分析：两个未知数，需要两个方程。

三角函数里面能提供方程的：正弦定理、余弦定理、面积公式→题目给出了角的度数，用余弦定理→题目给出了面积，用面积公式→并且，用已知角的余弦和面积公式→盯住角 C。

有 COSC=1/2，S=3√3/2，两个方程两个方程,解出 ab,问题解决。

思考：这道题挺简单的，未知数和方程一样多，但是如果未知数比方程多是什么题目？我们不妨讲题目进行一下调整:c 边长删掉，不给出 c 边长，其他条件不变。

2个方程，3 个未知数，显然解不出来未知数，但是能够求出来范围。所以这个题目的问题会进行修改：题目会更改为“三角形面积最大值求解”，依旧重复上面的步骤，最后加上基本不等式的使用，题目就可解了!

再来一个例子，一道函数题，我们正逆推同时进行。

逆推正推同时进行（问题的解决需要什么？题干有什么用？）

问题逆推：①问题有什么暗示性？ ②解决这个问题需要知道些什么？f(1)+f(2)+.....=?，数字比较大，不可能一个一个算，暗示前面肯定必须有周期！ 要解决这个问题，转化为：①周期是多少？先算出周期的个数。 ②一个周期内的函数值是多少？

题干正推：题目里有三个题干—— ①奇函数 ②f(1-x)=f(1+x)说的是对称 ③f(1)=2给的是某点函数值。没有直接的周期→要解决问题必须要能得出周期，只可能是奇函数+对称性=周期，于是通过正逆推得出结论：奇函数+对称性=周期。

2.③中的翻译和转化

这个部分其实就是学霸和学渣甚至说学神思维根本区别。看到题干想到知识点，这一步叫翻译。确定知识点之后再想知识点在本题中对问题的解决的作用，也就是知识点的应用，这一步叫转化。我们来看看翻译转化思维的威力！

例子 1： 题干：在三角形 ABC 中，balabala.我们只分析最前面这一段。 学渣看到三角形，三角形=三角形，完，无法分析；学霸看到三角形，基本反应，三角函数题目里面的大概知识点。正余弦定理，面积公式，诱导倍角辅助角公式。进阶反应，三角形，a+b＞c，尤其是是如果题目求边长范围的时候，会有限制，也就是所谓的细节。

学渣视角：圆啊，圆啊，圆就是圆啊，还能怎么样；学神看到圆：①圆的各个半径相等②垂径定理进行计算：r，半弦长，弦心距的勾股定理。③直径所对圆周角为 90 度。④以及圆和直线的关系要转化到圆心到直线的距离，也就是点到直线的距离与半径的比较。⑤圆的对称性。

这就是为什么有的人能够学好数学，有些人数学就是学不好的原因，很多人潜意识里面是有这样的知识库的。其实像是所谓的一些意识就是反应，这些条件反射的背后就是翻译转化思维。最简单的就是比如说看到特殊四边形，菱形矩形连对角线。强一点的就是，看到每一个题干都会想，转化方向，题干的暗示，对题目的作用。

这个东西养成了，其实不会让你速度慢。而是真正地让逻辑链条衔接起来，以及最后完全流程机械化的做题。因为做题的目的并非把题目做出来本身，而是通过题目更好地去理解知识点的使用。这个方法用到最后，其实就可以出题了，也能够一眼看出来出题人的意图，大概的感觉就是：看到题干 1，题干 2，就知道问题要问什么了，题目自然就写得飞快了！

好的，前菜开胃完了，我们开始整点硬核的了。

03 出题人意识，做题家思维

命题人意识：

• ① 解构思维——题目的构成，这个部分最关键的就是要素察觉，细分到最小题干，就解题的关键，也是后续总结整理题型的核心操作。
• ② 出题人准则——出题的模板，以知识点为核心的考察的原则，难度变化的顺序基本的逻辑。
• ③ 问题导向意识——对知识点的深化，章节知识点的覆盖原则。

做题家思维：

• ① 翻译转化思维——题目复杂化思路，知识点和题干的知识点最强搭建的体系，从题干转化为知识点的速度和准确性，就是学霸和学渣的根本区别。

• ② 程序树思维——做题步骤的优化，我们需要知道我们的步骤是不是对的，思路方向是不是正确的，做题心里面必须得有底。

这里面的解构思维，不光是数学思维的核心，也是理科的核心的思维，甚至可以说是学习的底层思维。对数学来说，解构思维，就是把题目进行分解，对应到数学知识点，再确定知识点的使用，解出题来。

概念提出了，当然就要确定他们的含义，以及他们具体的应用。我们现在再把这些专有名词去对应我们解题的步骤，看一下我们如何通过这些去完成一道题（从原理层面去对接刚刚的五步）

• ①读题——定位题目章节，确定大概知识点——问题导向意识（章节导向）
• ②划分题目内最小子题干——解构思维
• ③对每个题干进行翻译和转化、对问题进行翻译和转化——翻译转化思维（知识点在题目中的层级？知识点的作用，方程复杂化难度，以及完善题目信息）
• ④根据题干和问题确定翻译和转化是否正确（程序树思维）
• ⑤完成计算（再对大量的题目进行复盘和总结，出题人准则）

五点分别对应的具体操作是什么呢？

• ①看到题目之后确定常见的知识点考点和考法
• ②对题目内进行有效的题干划分，明确哪些是重要的有用的题干
• ③对题干对应的知识点进行大概定位，或者尝试进行组合
• ④正推逆推确定自己前面翻译的准确性
• ⑤对题目进行提炼，最大程度上保证自己做题的效果，举一反三，搭建和完善自己的知识网络地图。

为了帮助大家更好的理解，每一个步骤，我都会举出部分例子。用“举例+说明”的方式来给大家演示操作。

1.出题思维

出题人准则——问题知识点导向意识。

我们想一想，高考数学题有多少道，然后高考有多少个章节，有多少知识点。数学的试卷题目会在 30 道以内（新旧高考），但是数学的知识点太多了！根本不可能覆盖高中所有的知识点，所以大多数题目只能覆盖核心知识点。有人说，题目考察知识点不是废话嘛，考知识点其实是废话，但是这句话的解读就不是废话了。就像很多东西，大而化之其实并没有用，但是如果足够细化，深入解读，那可能威力就大了去了。

我们就联系高考对知识点的考察细化深入解读一下：题目会尽可能多地考察核心知识点。我们再结合高考的命题思路来看，一般来说题号会跟章节有关，高考数学题主要是以章节为单元来考察的。比如说第一道大题。比如说第二道大题。题目都会尽可能多地考察该单元的核心知识点。你不知道这个东西怎么用，那就对了。不是有俺树林嘛！

举例：

i.三角函数

三角函数大题里面知识点就只有：

• ①正弦定理
• ②余弦定理
• ③面积公式
• ④诱导公式
• ⑤倍半角公式
• ⑥辅助角公式

考纲里面的标注，包括高考试卷里面的体现，又或者我们的直觉应该都知道，正余弦定理考的是最多的！当你做不出来题目的时候，你就一个一个想，到底还有哪个知识点没有用到。正余弦用完了吗，正余弦用完了，其他四个知识点用完了吗？至少在卡壳的时候，有了明确的可以尝试的路径，思考的方向。

问题知识点导向意识其实最大的作用就是提供流程化解题的思路。

ii.数列

数列的知识点就只有等差等比的通项中项定义，以及求和公式。 因为只学了这个，所以高考基本上百分之 90 的题目背景的数列都是等差等比，百分之百都跟等差等比会有关联。而等差里面喜欢 d=2 或-2，等比里面也喜欢 q=2 或者 1/2。证明的时候，心里面提前有个数还是比较重要的，对题目的预见性，会降低对新题目的陌生度，随之难度也就降低了。

我见过的最酷的一道高考题，长这个样子：

把等差和等比揉在一起考，以及考差了求和公式，裂项相消。大概就是 an=22n-1，第一问求出了数列 an 为等比（到这里等比已经考完了）第二问，直接设 Cn=log2an,即 Cn =log222n-1，Cn=2n-1（题目考到这里等差也考到了）

现在 bn=C1+C2+C3+.Cn.所以 bn 就是 Cn 的前 n 项和，也就是等差数列的前 n 项和。（现在等差数列的求和公式也考到了）1/bn= 1/(2n+1)(2n-1)，求和。裂项相消解决问题，完事。（裂项求和也考到了，这道题真的很有水平！）

iii.最后再举一个关于圆锥曲线部分的例子

圆锥曲线的考点怎么都绕不开定义，所以说不管是考椭圆，还是双曲线，还是抛物线，都会考到定义的。悄咪咪说一下，这个东西，只要是考圆锥曲线，必考！

总结一下，问题知识点导向这个思维。最重要的用处是什么？就是在你做不出来题目的时候，你可以有一个思考的思路，程序化的思路，而不是靠灵光一闪。卡壳的时候，列出来核心知识点，如果核心知识点都用到了，再把范围扩大一点，列出所有知识点。一个一个精心比对，看看哪个知识点在题目中用过了，哪些还没有用到。

而且从问题意思导向我们还可以分析出来更多有意思的东西。如果我们的思维可以深入一点，可以发现很多习惯性的操作，都有其本质的原理。比如说椭圆里面，为什么一定要画出来焦点三角形？因为椭圆问题的要求都是求离心率 e,e=c/a，哪里有 c，焦距，2c.哪里有 a，定义,2a.定义的 2a 是两条边的关系，2c 是一条边，要架接起来三边的关系，就只有三角形。 所以你一定会画出来三角形！

2.解构思维

这个思维甚至使用于所有科目，文理，以及所有的学习中。今天讲数学，我们就只说在数学科目内解构思维里面的运用。我们可以把数学题当成乐高或者拼图游戏——数学题，是按照一定的模式组合出来的！

所以一道数学题的组成大概是下面这样的： 题干 1+题干 2+题干 3+.+问题 1+问题 2.=题目。

用上面的函数题来进行分析：

题干解构：题目=奇函数+对称轴 x=1+某点函数值+问题。稍做推广：题目=奇偶函数+对称+给出部分函数值+问题。你知道了题目的基本元素其实你就具备了出题的能力了，我们来试试对这道题里面对数据做一些改动。奇函数变成偶函数，对称轴位置改变，函数值给出更加复杂，题目的问法改变。

已知函数满足在 x∈R 上都满足 F(-x)=F(x)，且 f(x+3)=F(-x+1)，在 x∈[0，2]满足f(x)=x，求 f(2020)=? 在这里面我们只需要换元素，以及满足一定的题目逻辑，就可以通过排列组合弄出来无数题目。所以，出题就是这样的，并不难。

所以出题就是解构结束之后的排列组合，那么我们自己出题的流程如下：

• ①对某道题目进行解构拆分。 题目=题干 1+题干 2+题干 3.+问题。

• ②再进行一步很重要的操作——特殊一般化！ 也就是进行推广，可以得出题目的一般形式。题干解构：题目=奇函数+对称轴 x=1+某点函数值+问题。推广：题目=奇偶函数+对称+给出部分函数值+问题。就像是这样。

• ③换元素，根据知识点的层级，对元素进行置换，对问题进行置换，通过排列组合，就可以得出来无数多道题目。

  比如说奇函数的不同层级。抽象表达：①奇函数 ②f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0 ③某图像关于原点对称具体表达：①Xn，n 为奇数的时候。比如说 1/x，X，X3 ②sinx，tanX ③比如说一些组合形式，奇函数+奇函数=奇函数，奇函数 X 偶函数=奇函数，F(x)=xcosx这个函数就是一个具体的奇函数

  比如说对称性的不同层级。①直接说对称性 ②简单地告诉你对称性 F(1+X)=F(1-X) ③对称性的一般情况 f(a+x）=f(b-x)，对称轴 x=a+b/2

这些不同的表达层级也就是我们的关键。我想现在你明白，对同一知识点不同角度理解的重要性了吧。关于这个东西的阐释，就是我们最重要的翻译转化思维了。

3.翻译转化思维

这是最核心也是最难的一步，我们前面说了，数学题目的核心其实是为了考察知识点的应用的。题干背后是知识点，我们可以理解为，知识点通过包装变成了题干。我们需要做的这一步就是把题干的包装纸拨开，变回知识点，再想知识点对解决问题的应用。其实啊，做数学题还是一个挺少女心的过程。

i.题干的转化

我们对题干正确的解读应该是这样的一个流程：题干→知识点→知识点的应用,也就是看到题干，马上想题干对应的知识点，确定了知识点再想就问题解决而言知识点的作用。很多人读题效率低，做题速度慢，就是因为，看题的时候真的只是看题目本身。不思考背后的知识点是什么，知识点常见的作用是什么，题干跟这个问题到底有什么关系。

举例时间：

比如说在立体几何里面我看到面面垂直。看到面面垂直我们第一时间想到的知识点就是面面垂直性质定理。而这个知识点的在问题中的作用是什么，我们根据知识点本身就可以推理出来了。

面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直他们交线的直线垂直另一个平面。翻译成人话：面面垂直能得到线面垂直！一般来说，面面垂直就是一个中转站，就是想让你去得到线面垂直。尤其是建系的时候，线面垂直的线，就是 Z 轴啊！这道题的第二问需要建系，看到了侧面垂直底面了嘛？干啥呀，提供一个 Z 轴啊！没有？！自己作一条辅助线就行了。

除此之外其实还有很多的条件反射，也是直接完成的题干→知识点→知识点应用比如说在立体几何题目中看到中点就会下意识的找有没有中位线，看到特殊四边形就会去连对角线，因为会提供新的中点。但是同样也还有一些，跟中点相关的，你也许就没有那么清晰。比如说看到等边三角形，比如说看到等腰三角形。你有什么想法吗？其实依旧是中点相关的，等腰三角形三线合一。

不知道你们想过没有：证明平行也好，中位线定理，还是证明垂直，勾股定理，三线合一，其实都在三角形里面。相比于四边，我们更多的关于线和线都研究都是放在三边，也就是三角形里面的。而且三角形的角度边长关系的确更加丰富，正余弦定理面积公式。所以在立体几何题目中，涉及到边和角的计算都会放在三角形里面去，因为这里面才有大量丰富计算的公式可以使用。

那我们明白了这个前提，如果你再看到 AB=BC，你会怎么想？你的反应是边相等？你的反应是要证明全等（你初中被荼毒的也太深了吧）你的反应应该是他们是不是在一个三角形里面，三角形是等腰，戳中点，连中线，三线合一，有垂直！

关于我刚刚讲的有什么用，你康康这个题目就明白了。

看完题来来跟我一起念：AB=BC→三角形 ABC 是等腰→戳中点 o 连中线 BO→BO⊥AC，和大量的线段长度关系。然后再来跟我一起念：PA=PB=PC=AC→三角形 PAC 是等边，比等腰还要特殊→PO⊥AC，和大量的线段长度关系。

这个题目第一问，要证明 PO⊥面 ABC→即要证 PO⊥AC，PO⊥ BO，轻松就证明了。所以你明白了，翻译转化，是一种可总结的条件反射。 而数学的总结，或者说意识，大部分是体现在这里的。

当然了，我选的题目都不难，原因有两个 ①是为了照顾一下大家的理解水平，因为分数段肯定也是正态分布，四五百分的同学肯定是最多的。②也是特别重要的，指导大家做题的思想，先易后难，先做简单的题目，中档的题目，积累做题中的翻译，也就是所谓的套路。然后推广整理，最后做难题才能够得心应手。

说完了题干的转化，我们再来看看问题的转化！

ii.问题的转化

举个函数的三体问题

有解=图像交点=图像零点，解和交点和图像的零点，本质上是一个东西，属于同一层级。①到底是当成方程去解方程呢？（前提不是能够解出来嘛，一般来说二次函数才有可以解，或者判断） ②还是当成图像和 x 轴的交点呢？或者图像和另一个图像的交点呢？（前提不是能够精确地画出来吗） ③还是说当成零点问题，用导数的思维求导，进行计算。

比如说这个题目里面的第一题，就是方程思想，因为是二次函数，有交点转化为有解，对应二次函数中，判别式△＞=0.2、3 其实都是一样的，唯一不同的是 3，需要对 a 进行分类讨论。对于 4，其实是需要把解方程去转化为交点。画出左边函数的图像|X2-4|和右边的 y=m。对于 5，就需要构造新函数求零点，也就是求导，进行计算。

04 总结

做题流程再归纳：

• ①问题为导向 如果在我们前面有信息储备的情况下。也就是大概知道这个章节的知识点有哪些，哪些是重点考察的，这些知识点的大概的作用。比如说，数列里面，等差等比的定义，延伸为中项公式，他们的通项公式，求和公式，函数的意义。所以在题目中，因为只有这些知识点，题目肯定就需要往这边靠才行，而且题目也会集中在这里面进行考察。

• ②解构，最小化题干 对题干进行划分，对题干进行解读，背后的知识点是什么，暗示了什么。然后看一下问题，思考问题的解决需要什么。如果说在题目中，有陌生的题干。可以考虑使用排除法，

  列出章节内常考的内容，常考知识点。和已经翻译过的题干进行比对，剩下的题干尝试性进行对接。也可以试图完全只从问题，考虑解决问题需要的内容，需要提供的信息，或者方程，来进行比对。

• ③翻译转化 翻译转化的原则里面，每个题干都是有有用的，不会有无效题干，这是出题人的底线。务必保证，每个题干都要用到，而且注意，除了提供方程的题干只用一次之外，其他提示性完善性题目可能不止用一次。

  尽量调动自己的思考，提高思维的活跃性，以及提高对题干的敏感度。读完题干尽量先检索，是否满足于之前的题目总结的思路，是不是能够尽量先贴近某类题目的组合，也就是是否有类似题目的做法可以作参照物。

• ④复盘总结 做完了题目一定要定时去回顾和做总结。最大化的学习效率，多次重复性回顾，然后以一定问题导向地总结。做题的时候的状态，和做完题目之后的上帝视角是不太一样的。而且是完全以总结题型优化思路为目标，并且很多题目要放在一起比对才 OK，所以最好的方式还是要把题目剪下来。不要有完美主义，剪完了的书，最大化利用的书才是好书。

好，有了基础的数学思维，接下来我们看看从实际操作角度出发我们可以怎样突围高考数学。

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